(1916 chữ, 8 phút đọc)
Tôi tin rằng, trong mọi lĩnh vực, ngành nghề dù chuyên môn hay nghiệp dư, có lẽ hiếm có lĩnh vực nào dị biệt như toán học và văn chương. Dị biệt ở chỗ, tri thức có thể thụ đắc từ nó hoàn toàn không cần đến sự giáo dục hệ thống. Nói cách khác, toán học và văn chương, hoàn toàn có thể tự học không cần thông qua trường lớp hay hệ thống giáo dục nào. Nhận định như vậy không hẳn ai cũng đồng ý, nhất là với toán học.
Văn chương dễ nhận ra nhất, hầu như rất ít nhà văn nào xuất thân từ một trường chuyên nghiệp về văn chương; những tài năng lớn nhất trong lĩnh vực văn chương thường, xuất thân từ địa hạt xa rời văn chương. Đành rằng, ngày nay trên thế giới vẫn có chuyên ngành văn chương tại Đại học, nơi đào tạo nhà văn và nghiên cứu văn chương; thì thực tế cho thấy, nhà văn chuyên nghiệp rất ít người xuất thân từ chính chuyên ngành của mình trong Đại học.
Riêng toán học, thoạt nhìn, chúng ta khó tin rằng môn toán có thể tự học hoàn toàn; bởi, toán học luôn là môn xương sống cho mọi cấp bậc từ tiểu học đến trung học và cả đại học; những đứa trẻ phải trầy trật dưới điểm số môn toán; toán từng là môn ám ảnh thời đi học của rất nhiều người. Toán, không phải là môn dễ học. Điều đó đúng trong trường hợp, người ta phải học toán theo một trình độ do chương trình đặt ra, họ buộc phải tiêu hoá mớ tri thức trong thời gian ngắn. Còn lại, toán học dù là môn học rất trừu tượng nhưng không quá khó để học được nó, bất kỳ ai có trí thông minh trung bình, một chút nghị lực, một ít đam mê và một quyển sách giáo khoa toán tốt, là hoàn toàn có thể thụ đắc tri thức toán học ở mức độ chuyên ngành mà không cần đến bất kỳ thầy dạy toán nào.
Lịch sử toán học chỉ ra, đây là ngành học có những tài năng trẻ đến rất trẻ, trong số đó, không ít người hoàn toàn tự học dựa trên một quyển sách giáo khoa toán nào đó. Người ta có thể nói, vì đó là những cá nhân xuất sắc nên có thể tự học toán mà không cần sự hỗ trợ của ai. Điều đó vừa đúng vừa sai. Đúng ở chỗ, muốn nghiên cứu bất kỳ phân ngành nào của toán học, tối thiểu, người ta phải biết những phép tính căn bản; mà không một đứa trẻ nào, sinh ra đời tự có phép tính đó trong đầu, chúng cần được học; quan trọng, những phép tính đó ai dạy cũng được. Toán học không phải là phép tính, phép tính chỉ là một công cụ căn bản của toán. Hiểu và thực hành được phép tính trong toán học, đâu cần nhiều trí thông minh, miễn người ta đừng đòi hỏi trẻ em khả năng chưa tương xứng lứa tuổi.
Tôi biết, tự học bao giờ cũng gian nan hơn có người hướng dẫn và một chương trình học được soạn kỹ lưỡng. Đó là lý do mà lối học nhảy cóc trong một số lĩnh vực thường mang lại kết quả hời hợt. Không ai tin một ai đó có thể tự học mà thành bác sĩ, một người tự học đàn vĩ cầm sẽ không thể chơi được nhạc cổ điển với nhiều kỹ thuật phức tạp. Toán học thì khác, nó có ba đặc trưng:
- Toán học là thế giới của ý tưởng tuyệt đối với những quy luật chính xác đến lạ lùng, mặc cho trên đời này có tồn tại hình tam giác hay không thì người ta vẫn biết, tổng ba góc tam giác luôn là 180 độ.
- Toán học chỉ chứa chân lý và chân lý đó là tuyệt đối, điều này lý giải tại sao khi một định đề trong toán học đã được chứng minh thì không ai ngờ vực nó nữa.
- Toán học là sản phẩm của óc lý trí và sức tưởng tượng, nên toán học là sản phẩm gắn liền với khả năng tư duy rất đặc trưng của con người. Như vậy, khả năng toán học là khả năng căn bản và đặc trưng nhất ở người Homo Sapiens, chúng ta có khả năng toán học rất tự nhiên, vì vậy, tôi mới nói chúng ta hoàn toàn có thể tự học toán.
Thực tế không như vậy, nhất là ở Việt Nam, không ai có thể tin một ai đó dựa vào sách giáo khoa để hiểu nội hàm rất trừu tượng trong toán, ở mức độ lý thuyết và, giải quyết một bài toán, ở mức độ thực hành. Theo tôi, lý do chính, ở Việt Nam không có một quyến sách toán giáo khoa tốt. Những quyển sách giáo khoa toán ở Việt Nam, sơ sài đến mức, mỗi năm có hàng trăm quyển sách minh hoạ cho nó; và ngắn gọn đến mức, không ai có thể hiểu nó trừ khi có người giải thích.
Thời gian gần đây, tôi ở nhà một người bạn làm luật sư, em trai anh học một ngành kinh tế tại RMIT và gặp khó khăn về những bài toán kinh tế được học. Tiếp xúc anh, tôi nhận ra anh khá thông minh, suy nghĩ mạch lạc; khi hỏi, thật ngạc nhiên là anh học dở toán và không thích môn học đó. Kinh nghiệm dạy học của mình, tôi biết một đầu óc tư duy mạch lạc là tiền tố quan trọng tiếp cận tri thức toán học. Nhận thấy những bài toán kinh tế mà anh đang giải quyết là những khái niệm liên quan đến giải tích, tôi đưa anh ra nhà sách mua hai quyển Giải Tích của James Stewart mà Việt Nam có chuyển ngữ. Tôi dành hai buổi, mỗi buổi chừng 5-6 tiếng bắt đầu lại những khái niệm căn bản nhất của Giải Tích cho anh.
Buổi đầu tiên, tôi không dạy hay viết bất kỳ gì về phương trình toán học. Thay vào đó, tôi nói rất nhiều về Khái niệm tới hạn (giới hạn). Như mọi quyển sách giáo khoa đúng nghĩa, người ta dành thời gian nhiều để tiếp cận khái niệm. Tôi vẽ 15 hình tròn có cùng bán kính và anh phải vẽ vào đó những đa giác đều nội tiếp hình tròn, trực quan, anh tự nhiên nhận ra Diện tích hình tròn là điểm giới hạn của Diện tích đa giác đều, khi số cạnh n chạy ra vô cực. Tôi mất rất nhiều thí dụ từ, diện tích hình cong, vận tốc, dãy số, tổng sai phân để anh nhận ra điểm mấu chốt của khái niệm giới hạn đều liên quan đến tính động hơn là tĩnh. Từ đó, anh phân biệt được khác biệt căn bản môn giải tích, hình học và đại số là tính động và tính tĩnh. Giải tích nghiêng về động, đó là lý do tại sao kinh tế xã hội học đều cần đến giải tích.
Khi nói về hàm số, tôi nhấn mạnh hàm số như một nhà máy mà hàng hoá tạo ra lệ thuộc vào nguồn nguyên liệu đầu vào. Trường hợp đó, hàng hoá gọi là biến số phụ thuộc, nguyên liệu là biến số độc lập. Đại lượng y luôn lệ thuộc vào x. Khác với nhiều người dạy toán, tôi nhấn mạnh cách thức mô tả hàm số là đa dạng, có thể nói bằng lời, có thể bằng những con số, có thể bằng đồ thị và có thể bằng một phương trình. Nhiệm vụ học khái niệm hàm số là khả năng mô tả những bài toán kinh tế, quy chúng về những phương trình đơn giản, tìm hiểu quy tắc phương trình đó chính là luật vận hành trong kinh tế, giải phương trình đó chính là giải bài toán kinh tế. Khái niệm hàm số cho phép chúng ta khái quát hoá một vấn đề thành những đại lượng lệ thuộc lẫn nhau, quy giản nó thành một phương trình, cụ thể nó bằng một hình vẽ. Cho đến ngày nay, giải pháp căn bản cho nhiều vấn đề xã hội là khả năng khái quát và quy giản nó thành điều có thể hiểu, bởi không ai có giải pháp cho điều không thể hiểu.
Nói về khái niệm đạo hàm, tôi nhấn mạnh sự thay đổi quãng đường di chuyển của xe máy với thời gian, từ đó tôi nhắc về khái niệm vận tốc trung bình. Nhưng ở mỗi thời điểm, vận tốc là khác nhau, sự khác nhau đó cho thấy khuynh hướng vận tốc đang tăng lên hay giảm xuống hay giữ nguyên, theo thời gian, tất cả đều hình thành nên khái niệm… vận tốc của vận tốc, mà chúng ta quen gọi là gia tốc, nghĩa là tốc độ gia đổi vận tốc. Tương tự xã hội học, dân số tăng theo mỗi năm, thì liệu, chúng ta có đoán được tương lai dân số sẽ thế nào? Tốc độ gia tăng dân số cho ta biết khi nào dân số tăng nhanh, tăng chậm hoặc âm. Đó là khái niệm đạo hàm, nghĩa là tốc độ biến thiên, hay tốc độ của tốc độ.
Tương tự cho khái niệm tích phân, vi tích phân, tích phân hai lớp, ba lớp, trong hệ trục giải tích, v.v…. Trong vòng hai buổi, số giờ chừng 12 tiếng, anh hoàn toàn hiểu chính xác những khái niệm căn bản nhất giải tích mà không cần đụng nhiều đến phép toán. Tôi dành thời gian để chứng minh những định lý căn bản, những câu chuyện liên quan đến nhà toán học giải tích, vai trò và khám phá của họ. Về mở rộng phạm vi ứng dụng toán học, tôi cùng anh giải quyết bài toán ước lượng số nhân công xây dựng kim tự tháp Khufu dựa trên trọng lượng viên gạch, số viên gạch, thời gian xây, lực dòng nước chảy. Tại sao tôi có thể giải thích quỹ đạo hành tinh theo hình e-lip mà không phải hình tròn. Tôi giúp anh tính chính xác lực nâng trái bóng rổ của anh, rồi từ đó xác địch vị trí lẫn độ cao mà trái bóng sẽ rơi.
Sau hai buổi, anh hoàn toàn có thể tự học Giải tích bằng sách giáo khoa với khả năng giải trọn vẹn trên 80% bài toán. Anh không nghĩ mình có thể giải toán giải tích tốt như vậy; tôi nói, ngay từ đầu bước đến toán anh đã sai đường, tập trung vào những con số, công thức, quỷ thuật lươn lẹo trong cách giải toán; trong khi bản chất toán học là, tập trung vào hiểu khái niệm. Khái niệm hiểu chính xác và vững, giải toán chỉ là công đoạn thoả mãn sự mẫn cảm với những con số mà thôi. Tôi nói thời đại anh may mắn khi sách giáo khoa toán ở Mỹ bắt đầu dịch sang tiếng Việt, anh hoàn toàn tự học toán dựa trên nó.
Dạy toán ở Việt Nam, sai từ lúc bắt đầu.
Tác giả: ICiệt’s Phùng
